¿Qué es int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Responder:

#= 1/4#

Explicación:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Responder:

#1/4#

Explicación:

Puede hacer esto de varias maneras, aquí están dos de ellas. Lo primero es utilizar una sustitución:

#color (rojo) ("Método 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Dejar #u = ln (x) implica du = (dx) / x #

Transformando los límites:

#u = ln (x) implica u: 0 rarr 1 #

Integral se convierte en:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Esta es la forma más sencilla, pero es posible que no siempre pueda realizar una sustitución. Una alternativa es la integración por partes.

#color (rojo) ("Método 2") #

Utilice la integración por partes:

Para funciones #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) implica u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) implica v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Agrupación de términos semejantes:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

# por lo tanto int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Sin embargo, estamos trabajando con una integral definida, por lo que aplicamos límites y eliminamos la constante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #