¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x en x = sqrtpi?

Responder:

La ecuación es aproximadamente:

#y = 3.34x - 0.27 #

Explicación:

Para empezar, tenemos que determinar #f '(x) #, para que sepamos cual es la pendiente de #f (x) # está en cualquier punto, #X#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

usando la regla del producto:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Estos son derivados estándar:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Así que nuestro derivado se convierte en:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Insertando lo dado #X# valor, la pendiente en #sqrt (pi) # es:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Esta es la pendiente de nuestra línea en el punto. # x = sqrt (pi) #. Entonces podemos determinar el intercepto y estableciendo:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Esto nos da la ecuación no simplificada para nuestra línea:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Al resolver b, terminamos con la fórmula molesta y complicada:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Así nuestra línea termina siendo:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Si realmente calculamos a qué equivalen estos coeficientes molestos, terminamos con la línea aproximada:

#y = 3.34x - 0.27 #