¿Cuál es el significado del límite de una función?

Responder:

La declaración #lim_ (x a) f (x) = L # significa: como #X# se acerca a #una#, #f (x) # se acerca a # L #.

Explicación:

La definición precisa es:

Para cualquier número real #ε>0#, existe otro numero real #δ>0# tal que si # 0 <| x-a |<>, entonces # | f (x) -L |<>.

Considera la función #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Si trazamos la gráfica, se ve así:

No podemos decir cuál es el valor en # x = 1 #, pero parece como si #f (x) # enfoques #2# como #X# enfoques #1#.

Vamos a tratar de mostrar que #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

La pregunta es, ¿cómo obtenemos de # 0 <| x-1 |<> a # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Debemos comenzar con algún valor de #ε# y luego encontrar un valor correspondiente para encontrar #δ#.

Empecemos con

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

La otra condición es

# | x-1 | <δ #

La definición se ajusta exactamente si #δ = ε#.

Acabamos de mostrar que para cualquier #ε#, hay un #δ# así que eso # | f (x) 2 |<> cuando # 0 <| x 1 |<>.

Así que hemos demostrado que

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #