La suma del cuadrado de tres enteros es 324. ¿Cómo encuentras los enteros?

Responder:

La única solución con distintos enteros positivos es #(2, 8, 16)#

El conjunto completo de soluciones es:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Explicación:

Podemos ahorrarnos algo de esfuerzo considerando qué forma toman los cuadrados.

Si #norte# es un entero impar entonces #n = 2k + 1 # para algún entero # k # y:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Observe que este es un entero impar de la forma # 4p + 1 #.

Por lo tanto, si agrega los cuadrados de dos enteros impares, siempre obtendrá un entero de la forma # 4k + 2 # para algún entero # k #.

Tenga en cuenta que #324 = 4*81# es de la forma # 4k #no # 4k + 2 #.

Por lo tanto, podemos deducir que los tres enteros deben ser todos iguales.

Hay un número finito de soluciones en enteros desde # n ^ 2> = 0 # para cualquier entero #norte#.

Considere soluciones en enteros no negativos. Podemos añadir variantes con enteros negativos al final.

Supongamos que el entero más grande es #norte#, entonces:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Asi que:

# 12 <= n <= 18 #

Eso da como resultado posibles sumas de cuadrados de los otros dos enteros:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Para cada uno de estos valores. # k #, supongamos que el mayor entero restante es #metro#. Entonces:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

y requerimos # k-m ^ 2 # Para ser un cuadrado perfecto.

Por eso encontramos soluciones:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Así que la única solución con distintos enteros positivos es #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Es fácil demostrar que # x, y # y # z # debe ser incluso porque hacer # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # y # z = 2m_z # tenemos

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # o

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # lo cual es absurdo.

Así que vamos a considerar a partir de ahora

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Ahora considerando la identidad

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

con # l, m, n # enteros positivos arbitrarios y haciendo

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

tenemos

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # o resolviendo para #norte#

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

así que para la viabilidad necesitamos

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # o

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

entonces para # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # tendremos

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # asi que lo factible # q # son

#q_f = {80,72,56,32} # porque #q equiv 0 mod 4 #

así que tenemos que encontrar

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # o

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = barra q_i = {20,18,14,8} #

Aquí como podemos verificar fácilmente, la única solución es para

# l_1 = 2, m_1 = 4 # porque

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = barra q_1 #

y consecuentemente # n_1 = {4,5} #

y sustituyendo a 1 obtenemos

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

dando la solución

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #