El agua sale de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000 cm3 / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante Si el tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es de 4 my Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es de 2 m, ¿cómo encuentra la velocidad a la que se está bombeando el agua al tanque?

Dejar # V # ser el volumen de agua en el tanque, en # cm ^ 3 #; dejar # h # ser la profundidad / altura del agua, en cm; y deja # r # Ser el radio de la superficie del agua (en la parte superior), en cm. Como el tanque es un cono invertido, también lo es la masa de agua. Como el tanque tiene una altura de 6 my un radio en la parte superior de 2 m, triángulos similares implican que # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # así que eso # h = 3r #.

El volumen del cono de agua invertido es entonces # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Ahora diferenciar ambos lados con respecto al tiempo. # t # (en minutos) para obtener # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (La regla de la cadena se utiliza en este paso).

Si #V_ {i} # es el volumen de agua que se ha bombeado, entonces # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (cuando la altura / profundidad del agua es de 2 metros, el radio del agua es # frac {200} {3} # cm).

Por lo tanto # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 approx 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.