Si se tira una piedra a una altitud de 174,9 m desde un helicóptero que asciende a una velocidad de 20,68 m / s, ¿cuánto tarda la piedra en llegar al suelo?

Responder:

8.45 segundos.

Explicación:

La dirección de 'g' cuando se habla de aceleración depende del sistema de coordenadas que definimos. Por ejemplo, si tuviera que definir hacia abajo como la 'y' positiva, entonces g sería positivo. La convención es tomar hacia arriba como positivo, por lo que g será negativo. Esto es lo que usaremos, también tomamos la tierra como #y = 0 #

#color (rojo) ("EDIT:") # He añadido un enfoque utilizando las ecuaciones cinemáticas que aprendiste temprano en la parte inferior. Todo lo que he hecho aquí es obtener estos cálculos usando cálculos, pero aprecio que no lo hayan cubierto.Desplácese hasta el título rojo para el enfoque de no cálculo.

Podemos ver esto mucho más de cerca comenzando desde cero con la segunda ley de Newton. Cuando la piedra se cae, tiene una velocidad inicial, pero la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. Hemos definido hacia arriba como la dirección y positiva, por lo que para la segunda ley de Newton podemos escribir

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Esto se debe a que la piedra acelerará hacia la tierra, que hemos definido como la dirección negativa.

La integración de esta expresión da:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # es la velocidad de la piedra, por lo que cuando aplicamos la velocidad inicial en #y '(0) = + 20.68 # llegamos a

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20.68 - g t #

Esto modela la velocidad y tiene sentido si lo piensas. Cuando se libere, tendrá la misma velocidad que el helicóptero y, por lo tanto, se moverá hacia arriba durante un tiempo, pero a medida que el tiempo avanza, se detendrá y luego comenzará a caer.

Para encontrar el desplazamiento, nos integramos de nuevo:

#y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Aplicar condición inicial #y (0) = 174.9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

# por lo tanto y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Para resolver el tiempo para llegar al suelo, establecer # y = 0 # y resuelve la cuadrática:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

Este es definitivamente un trabajo para la fórmula cuadrática:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Tomando #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 o -4.23 #

Descartamos la solución negativa, por lo tanto, la piedra tarda 8.45 segundos en golpear el suelo.

#color (rojo) ("Sin enfoque de cálculo") #

Lo sabemos #v = v_0 + en # dónde # v # es la velocidad final, # v_0 # es la velocidad inicial, #una# es aceleración y # t # Es el tiempo que se solicita.

Como dije anteriormente, con un sistema de coordenadas hacia arriba. #sol# será negativo, pero la piedra inicialmente se moverá hacia arriba debido a su velocidad inicial. Queremos encontrar el punto en el que deja de moverse hacia arriba:

Conjunto #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

# por lo tanto t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Ahora usa

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # de nuevo con #a = -g #

asi que #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21.8m #

Esto significa que la piedra se detiene momentáneamente en #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7m #

Ahora no tenemos ninguna velocidad inicial molesta con la que lidiar, solo una caída recta desde esta altura:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Como la subida es positiva, la caída resultará en un desplazamiento negativo, por lo

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # según sea necesario.

Responder:

8.45s

Explicación:

El helicóptero avanza con una velocidad. # u = 20.68m / s # Por lo tanto, la piedra lanzada desde ella tendrá la misma velocidad inicial que la velocidad ascendente del helicóptero, pero la fuerza gravitacional descendente le proporcionará una aceleración descendente (g).

Teniendo en cuenta el punto de caída de la piedra del helicóptero como origen, procedemos de la siguiente manera

Si hacia arriba velocidad inicial ser tomada positivo entonces aceleración hacia abajo (g) debe ser tomado como negativo y desplazamiento hacia abajo (h) también debe ser considerado negativo.

#color (rojo) ("Aquí arriba + ve y abajo -ve") #

Ahora el cálculo del tiempo (t) de llegar a tierra

Entonces tenemos

# u = + 20.68m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Insertando estos en la ecuación de movimiento bajo gravedad (comprendiendo las variables h, u, g, t) obtenemos

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20.68 + sqrt ((- 20.68) ^ 2-4 * 4.9 * (- 174.9))) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

La misma ecuación (1) se obtendrá si invertimos la dirección#color (rojo) ("es decir, hacia arriba - ive y hacia abajo + ive.") #