¿Puede una función ser continua y no diferenciable en un dominio dado?

Responder:

Sí.

Explicación:

Uno de los ejemplos más notables de esto es la función Weierstrass, descubierta por Karl Weierstrass, que definió en su artículo original como:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

dónde # 0 <a <1 #, #segundo# es un entero impar positivo y #ab> (3pi + 2) / 2 #

Esta es una función muy puntiaguda que es continua en todas partes en la línea Real, pero no diferenciable en ninguna parte.

Responder:

Sí, si tiene un punto "doblado". Un ejemplo es #f (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Explicación:

La función continua prácticamente significa dibujarlo sin quitar el lápiz del papel. Matemáticamente, significa que para cualquier # x_0 # los valores de #f (x_0) # A medida que se acercan con infinitamente pequeños. # dx # De izquierda a derecha debe ser igual:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

donde el signo menos significa acercarse desde la izquierda y el signo más significa acercarse desde la derecha.

La función diferenciable significa en la práctica una función que cambia constantemente su pendiente (NO a una velocidad constante). Por lo tanto, una función que no es diferenciable en un punto dado prácticamente significa que cambia bruscamente su pendiente desde la izquierda de ese punto a la derecha.

Veamos 2 funciones.

#f (x) = x ^ 2 # a # x_0 = 2 #

Grafico

gráfica {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Gráfico (zoom)

gráfica {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Ya que en # x_0 = 2 # El gráfico se puede formar sin quitar el lápiz del papel, la función es continua en ese punto. Como no está doblado en ese punto, también es diferenciable.

#g (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Grafico

gráfica {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

A # x_0 = 0 # La función es continua ya que se puede dibujar sin quitar el lápiz del papel. Sin embargo, como se dobla en ese punto, la función no es diferenciable.