¿Cómo encuentras el límite de [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] cuando x se acerca a 0?

Responder:

Realizar alguna multiplicación conjugada y simplificar para obtener. #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Explicación:

La sustitución directa produce forma indeterminada. #0/0#, así que tendremos que probar algo más.

Intenta multiplicar # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # por # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Esta técnica es conocida como multiplicación de conjugados, y funciona casi siempre. La idea es usar la propiedad de la diferencia de los cuadrados. # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # para simplificar el numerador o el denominador (en este caso, el denominador).

Recordar que # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #o # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Por lo tanto podemos reemplazar el denominador, que es # 1-cos ^ 2x #, con # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Ahora el # sin ^ 2x # cancela

# ((sinx) (cancelar (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (cancelar (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Termina tomando el límite de esta expresión:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#