¿Cómo encuentras la derivada de tan (x - y) = x?

Responder:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Explicación:

Asumo que quieres encontrar # (dy) / (dx) #. Para esto primero necesitamos una expresión para # y # en términos de #X#. Notamos que este problema tiene varias soluciones, ya que #tan (x) # Es una función periódica, #tan (x-y) = x # Tendrá múltiples soluciones. Sin embargo, dado que conocemos el período de la función tangente (#Pi#), podemos hacer lo siguiente: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, dónde #tan ^ (- 1) # Es la función inversa de la tangente que da valores entre # -pi / 2 # y # pi / 2 # y el factor # npi # Se ha agregado para tener en cuenta la periodicidad de la tangente.

Esto nos da # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, por lo tanto # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, tenga en cuenta que el factor # npi # ha desaparecido. Ahora necesitamos encontrar # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Esto es bastante complicado, pero se puede hacer usando el teorema de la función inversa.

Ajuste # u = tan ^ (- 1) x #, tenemos # x = tanu = sinu / cosu #, asi que # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, utilizando la regla del cociente y algunas identidades trigonométricas. Usando el teorema de la función inversa (que establece que si # (dx) / (du) # Es continuo y no cero, tenemos # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), tenemos # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Ahora necesitamos expresar # cos ^ 2u # en términos de x.

Para ello, utilizamos algo de trigonometría. Dado un triángulo rectángulo con lados. #a B C# dónde #do# es la hipotenusa y # a, b # Conectado al ángulo recto. Si # u # es el ángulo donde lado #do# lado intersecta #una#, tenemos # x = tanu = b / a #. Con los simbolos #a B C# En las ecuaciones denotamos la longitud de estos bordes. # cosu = a / c # y usando el teorema de Pitágoras, encontramos # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Esto da # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, asi que # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Ya que # u = tan ^ (- 1) x #, podemos sustituir esto en nuestra ecuación para # (dy) / (dx) # y encontrar # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.