¿Cuál es la varianza de X si tiene la siguiente función de densidad de probabilidad ?: f (x) = {3x2 si -1 <x <1; 0 de lo contrario}

Responder:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # que puede ser escrito como:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Explicación:

Estoy asumiendo que la pregunta quiere decir

#f (x) = 3x ^ 2 "para" -1 <x <1; 0 "de lo contrario" #

Encuentra la varianza?

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

Expandir:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucancel (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2cancel (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

sustituir

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

Dónde, # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # y # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

Así que vamos a calcular # sigma_0 ^ 2 "y" mu #

por simetria # mu = 0 # Vamos a ver:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #