Supongamos que había una base y un cierto número de dimensiones para el subespacio W en RR ^ 4. ¿Por qué es el número de dimensiones 2?

Responder:

4 dimensiones menos 2 restricciones = 2 dimensiones

Explicación:

Las coordenadas 3 y 4 son las únicas independientes. Los dos primeros pueden expresarse en términos de los dos últimos.

Responder:

La dimensión de un subespacio se decide por sus bases, y no por la dimensión de cualquier espacio vectorial del que sea un subespacio.

Explicación:

La dimensión de un espacio vectorial se define por el número de vectores en una base de ese espacio (para espacios de dimensión infinita, se define por la cardinalidad de una base). Tenga en cuenta que esta definición es coherente, ya que podemos probar que cualquier base de un espacio vectorial tendrá el mismo número de vectores que cualquier otra base.

En el caso de # RR ^ n # lo sabemos #dim (RR ^ n) = n # como

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

es una base para # RR ^ n # y tiene #norte# elementos.

En el caso de #W = s, t en RR # podemos escribir cualquier elemento en # W # como #svec (u) + tvec (v) # dónde #vec (u) = (4,1,0,1) # y #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

De esto, tenemos que # {vec (u), vec (v)} # es un conjunto de expansión para # W #. Porque #vec (u) # y #vec (v) # claramente no son múltiplos escalares entre sí (note las posiciones de los #0#s), eso significa que # {vec (u), vec (v)} # es un conjunto de expansión linealmente independiente para # W #, eso es, una base. Porque # W # tiene una base con #2# elementos, decimos que #dim (W) = 2 #.

Tenga en cuenta que la dimensión de un espacio vectorial no depende de si sus vectores pueden existir en otros espacios vectoriales de mayor dimensión. La única relación es que si # W # es un subespacio de # V # entonces #dim (W) <= tenue (V) # y #dim (W) = tenue (V) <=> W = V #