¿Cuál es la fórmula para encontrar el área de un dodecágono regular?

Responder:

#S _ ("dodecágono regular") = (3 / (tan 15 ^ @)) "lado" ^ 2 ~ = 11.196152 * "lado" ^ 2 #

Explicación:

Pensando en un dodecágono regular inscrito en un círculo, podemos ver que está formado por 12 triángulos isósceles cuyos lados son el radio del círculo, el radio del círculo y el lado del dodecágono; en cada uno de estos triángulos, el ángulo opuesto al lado del dodecágono es igual a #360^@/12=30^@#; El área de cada uno de estos triángulos es # ("lado" * "altura) / 2 #, solo necesitamos determinar la altura perpendicular al lado del dodecágono para resolver el problema.

En el mencionado triángulo isósceles, cuya base es el lado del dodecágono y cuyos lados iguales son los radios del círculo, cuyo ángulo opuesto a la base (#alfa#) es igual a #30^@#, solo hay una línea trazada desde el vértice en el que se encuentran los radios del círculo (punto C) que intercepta perpendicularmente el lado del dodecágono: esta línea biseca el ángulo #alfa# así como define la altura del triángulo entre el punto C y el punto en el que se intercepta la base (punto M), así como divide la base en dos partes iguales (todo porque los dos triángulos más pequeños así formados son congruentes).

Como los dos triángulos más pequeños mencionados son los correctos, podemos determinar la altura del triángulo isósceles de esta manera:

#tan (alpha / 2) = "cathetus opuesto" / "cathetus adyacente" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("lado" / 2) / "altura" # => #height = "lado" / (2 * tan 15 ^ @) #

Entonces nosotros tenemos

#S_ (dodecágono) = 12 * S_ (triángulo) = 12 * (("lado") ("altura")) / 2 = 6 * ("lado") ("lado") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecágono) = 3 * ("lado") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #