¿Cuáles son la asíntota (s) y el (los) orificio (s), si los hay, de f (x) = (2-e ^ (x)) / (3x-2xe ^ (x / 2))?

Responder:

Asíntotas verticales: x = 0, #ln (9/4) #

Asíntotas horizontales: y = 0

Asíntotas oblicuas: ninguna

Hoyos: ninguno

Explicación:

los # e ^ x # Las piezas pueden ser confusas, pero no se preocupe, solo aplique las mismas reglas.

Empezaré por la parte fácil: las asíntotas verticales.

Para resolver esto, el denominador es igual a cero, ya que un número sobre cero no está definido. Asi que:

# 3x-2xe ^ (x / 2) = 0 #

Entonces factorizamos una x

#x (3-2e ^ (x / 2)) = 0 #

Entonces, una de las asíntotas verticales es x = 0. Entonces, si resolvemos la siguiente ecuación.

# (3-2e ^ (x / 2)) = 0 # Luego usa álgebra, aísla el exponente: # -2e ^ (x / 2) = - 3 #

Luego divide por -2: # e ^ (x / 2) = 3/2 #

Finalmente, tomamos el registro natural de ambos lados como un medio para cancelar el exponente: #ln (e ^ (x / 2)) = ln (3/2) #

Así que a la izquierda, nos quedamos con # x / 2 = ln (3/2) #

Así que este cero final es #x = 2 ln (3/2) # y debido a la propiedad de registro exponente que los estados #ln (x ^ n) = n * ln (x) #, es equivalente a #x = ln (9/4) #

Así que ahora que hemos establecido eso, el resto es fácil. Debido a que el numerador no se divide en el denominador, no puede haber una asíntota oblicua. Además, el denominador tiene un grado mayor que el numerador. Y cuando intenta factorizar el denominador, como se muestra arriba, ninguno de los factores coincide con el numerador

Finalmente, para cerrar, tenemos una asíntota horizontal de y = 0 porque la # e ^ x # La función nunca es igual a cero.

Puntos clave:

1. # e ^ x ne 0 #