¿Cómo resolver 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Responder:

Podemos resolver esta pregunta gráficamente.

Explicación:

La ecuación dada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # puede ser reescrito como

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ahora toma estos dos como funciones separadas

#f (x) = 2e ^ (x) # y #g (x) = 7-2x # y trazar su gráfica; su punto de intersección será el solución a la ecuación dada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Esto se muestra a continuación:

Responder:

Esta es más allá del álgebra de la escuela secundaria, y la mejor manera de resolverlo es preguntarle a Wolfram Alpha quién responde. #x aprox.94 #.

Explicación:

Resolver

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Las preguntas como esta son en general difíciles, y la respuesta depende si estás en Algebra en la escuela secundaria o más profundo en matemáticas.

Para la escuela secundaria, el mejor enfoque es probar algunos números pequeños y ver si funcionan. (Esto funciona para muchos, muchos problemas de matemáticas en la escuela secundaria, para su información). En realidad, solo hay un racional #X# lo que hace # e ^ x # racional, # x = 0 #, que no es una solución. Así que adivinar no va a funcionar aquí.

Si una aproximación es lo suficientemente buena, podemos graficarla, o graficar # 2e ^ x # y # 7-2x # Y ver dónde se encuentran.

Sea cual sea su nivel, cuando se enfrenta a uno difícil como este, generalmente es un buen paso preguntar al experto disponible, que es Wolfram Alpha.

Vemos que Alpha nos dio una respuesta aproximada, bastante cercana a 1, e incluso una fórmula que usa W (x), que el Registro de productos de Lambert, que generalmente no forma parte de las matemáticas de la escuela secundaria.

No hay respuesta utilizando las funciones y operaciones regulares que conocemos en la escuela secundaria de Álgebra. Eso es generalmente cierto cuando agregamos un término con #X# en un exponente a uno donde #X# Aparece como una potencia lineal o superior.

Ese es el final de la respuesta para la mayoría de los estudiantes. Pero podemos ir más profundo. El registro del producto es una función interesante.Considera la ecuación

#k = xe ^ x #

En el lado derecho hay una función creciente de #X#, entonces se cruzará # k # tarde o temprano. Tomar el registro realmente no nos lleva a ninguna parte: #ln k = ln x + x #.

Necesitamos algo como un registro, pero no uno que sea el inverso de # e ^ x #. Necesita ser el inverso de # xe ^ x #. Esto se llama el Registro de productos o la función Lambert W, definida como:

#k = xe ^ x # tiene solución real #x = W (k) #.

Vamos a restringir nuestra atención a los reales. Es divertido tratar de descubrir # W '#s propiedades. El fundamental que nos dan es

#W (xe ^ x) = x #

Vamos a dejar # x = ye ^ y # en el siguiente modo #W (x) = y #. Ahora

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Eso es genial. Qué tal si

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x x = = {x} {W (x)} #

Tomando registros, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # asumiendo que los registros están definidos

Ahora que ve cómo es trabajar con W, vea si puede usarlo para resolver la ecuación o para verificar la solución de Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #