¿Cuáles son todos los valores para k para los cuales int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

y

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # pero

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # y

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # asi que

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

o

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

entonces finalmente

valores reales #k = {-2,2} #

valores complejos #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Responder:

# k = + - 2 #

Explicación:

Necesitamos:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrándonos obtenemos:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 color (blanco) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Asumiendo que #k en RR # (hay en realidad #6# raíces #4# de los cuales son complejos)

Ahora, dependiendo del contexto del problema, se podría argumentar que #k <2 # (es decir # k = -2 #) es inválido como #k> = 2 # para que el interno sea "apropiado", excluyendo así esa solución, pero sin ningún contexto es razonable incluir ambas soluciones.

Además, tenga en cuenta que #k = + - 2 # Podría demostrarse que son soluciones sin realizar realmente ninguna integración.

En primer lugar, una propiedad de integrales definidas es que:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

para que podamos establecer de inmediato # k = 2 # es una solucion

En segundo lugar, # x ^ 5 # es un impar función, y funciones impares satisfacen:

# f (-x) = f (x) #

y tener simetría rotacional sobre el origen. como tal, si #f (x) # es extraño entonces:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

para que podamos establecer de inmediato # k = -2 # es una solucion

Sin embargo, la integración y los cálculos posteriores prueban que estas son las únicas soluciones.