¿Cuáles son los extremos absolutos de f (x) = x - e ^ x en [1, ln8]?

Responder:

Hay un máximo absoluto de #-1.718# a # x = 1 # y un mínimo absoluto de #-5.921# a # x = ln8 #.

Explicación:

Para determinar extremos absolutos en un intervalo, debemos encontrar los valores críticos de la función que se encuentran dentro del intervalo. Luego, debemos probar tanto los puntos finales del intervalo como los valores críticos. Estos son los puntos donde podrían ocurrir valores críticos.

Encontrando valores críticos:

Los valores críticos de #f (x) # ocurrir cuando #f '(x) = 0 #. Por lo tanto, debemos encontrar el derivado de #f (x) #.

Si:# "" "" "" "" "f (x) = x-e ^ x #

Entonces: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Entonces, los valores críticos ocurrirán cuando: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Lo que implica que:# "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Asi que:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "x = ln1 = 0 #

El único valor crítico de la función es en # x = 0 #, cual es no en el intervalo dado # 1, ln8 #. Por lo tanto, los únicos valores en los cuales los extremos absolutos podrían ocurrir son en # x = 1 # y # x = ln8 #.

Probando valores posibles:

Simplemente encuentra #f (1) # y #f (ln8) #. Cuanto más pequeño es el mínimo absoluto de la función y más grande es el máximo absoluto.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Por lo tanto, hay un máximo absoluto de #-1.718# a # x = 1 # y un mínimo absoluto de #-5.921# a # x = ln8 #.

Graficada es la función original en el intervalo dado:

gráfica {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Como no hay valores críticos, la función seguirá disminuyendo a lo largo de todo el intervalo. Ya que # x = 1 # es el comienzo del intervalo que disminuye constantemente, tendrá el valor más alto. La misma lógica se aplica a # x = ln8 #, ya que es el más lejano del intervalo y será el más bajo.