¿Cuál es la pendiente de la recta tangente de r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) en theta = (pi) / 4?

Responder:

La pendiente es #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Explicación:

Aquí hay una referencia a tangentes con coordenadas polares.

De la referencia, obtenemos la siguiente ecuación:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Necesitamos computar # (dr) / (d theta) # pero por favor observa que #r (theta) # Se puede simplificar utilizando la identidad. #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Vamos a evaluar lo anterior en # pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pp) / (pi ^ 2) #

Evaluar r en # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Nota: hice el denominador anterior. # pi ^ 2 # para que fuera común con el denominador de # r '# y, por lo tanto, se cancelaría cuando los pusiéramos en la siguiente ecuación:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

A # pi / 4 # Los senos y los cosenos son iguales, por lo tanto, se cancelarán.

Estamos listos para escribir una ecuación para la pendiente, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #