¿Cómo convertir r = 1 / (4 - costheta) en forma cartesiana?

Responder:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Explicación:

Oye, socrático: ¿es realmente necesario que nos digas que esto fue pedido hace 9 minutos? No me gusta que me mientan. Díganos que se pidió hace dos años y nadie ha podido hacerlo todavía. Además, ¿qué pasa con las preguntas expresadas de forma idéntica y sospechosamente desde varios lugares? Sin mencionar a Santa Cruz, Estados Unidos? Casi con seguridad hay más de uno, aunque escucho el de California muy bien. La credibilidad y la reputación son importantes, especialmente en un sitio de tareas. No engañes a la gente. Rant final.

Al convertir ecuaciones de coordenadas polares a rectangulares, la fuerza bruta rectangular a la sustitución polar

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = texto {arctan2} (y "/," x) quad #

rara vez es el mejor enfoque. (Indico intencionalmente la tangente inversa de los cuatro cuadrantes aquí, pero no nos desviemos).

Idealmente queremos usar las sustituciones polar a rectangular, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sen ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK vamos a ver la pregunta.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Estas ecuaciones polares generalmente permiten negativas # r #, pero aquí estamos seguros # r # siempre es positivo

#r (4 - cos theta) = 1 #

Creo que estos son puntos suspensivos, lo que realmente no importa, pero nos da una idea de cómo esperamos que se vea la forma rectangular. Queremos apuntar a algo sin raíces cuadradas ni arctangentes. # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # tiene raíces cuadradas, pero #rcos theta = x # No, así que nos expandimos.

# 4r - rcos theta = 1 #

Ahora solo sustituimos; Lo haremos en pasos.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Vamos a cuadrar ahora. Sabemos #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Esta es una elipse de aspecto bastante circular. (Una constante más pequeña que #4# en el original daría una elipse más excéntrica.) Podríamos completar el cuadrado para ponerlo en forma estándar, pero dejémoslo aquí.