¿Qué es un eigenvector? + Ejemplo

Responder:

Si vector # v # y transformación lineal de un espacio vectorial. #UNA# son tales que #A (v) = k * v # (donde constante # k # se llama valor propio), # v # se llama un eigenvector de transformacion lineal #UNA#.

Explicación:

Imagina una transformación lineal. #UNA# de estirar todos los vectores por un factor de #2# En el espacio tridimensional. Cualquier vector # v # se transformaría en # 2v #. Por lo tanto, para esta transformación todos los vectores son vectores propios con valor propio de #2#.

Considere una rotación de un espacio tridimensional alrededor del eje Z por un ángulo de # 90 ^ o #. Obviamente, todos los vectores, excepto aquellos a lo largo del eje Z, cambiarán la dirección y, por lo tanto, no pueden ser vectores propios. Pero esos vectores a lo largo del eje Z (sus coordenadas son de la forma # 0,0, z #) conservarán su dirección y longitud, por lo tanto son vectores propios con valor propio de #1#.

Finalmente, consideremos una rotación por # 180 ^ o # en un espacio tridimensional alrededor del eje z. Como antes, todos los vectores del eje Z largo no cambiarán, por lo que son vectores propios con valor propio de #1#.

Además, todos los vectores en el plano XY (sus coordenadas son de la forma # x, y, 0 #) cambiará la dirección a la opuesta, manteniendo la longitud. Por lo tanto, también son vectores propios con valores propios de #-1#.

Cualquier transformación lineal de un espacio vectorial puede expresarse como una multiplicación de un vector por una matriz. Por ejemplo, el primer ejemplo de estiramiento se describe como una multiplicación por una matriz #UNA#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Dicha matriz, multiplicada por cualquier vector. # v = {x, y, z} # Producirá # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Esto es obviamente igual a # 2 * v #. Entonces tenemos

# A * v = 2 * v #, lo que prueba que cualquier vector # v # es un eigenvector con un valor propio #2#.

El segundo ejemplo (rotación por # 90 ^ o # alrededor del eje Z) se puede describir como una multiplicación por una matriz #UNA#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Dicha matriz, multiplicada por cualquier vector. # v = {x, y, z} # Producirá # A * v = {- y, x, z} #, Que puede tener la misma dirección que el vector original. # v = {x, y, z} # sólo si # x = y = 0 #, es decir, si el vector original se dirige a lo largo del eje Z.