X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. ¿Cómo resolver para x?

Responder:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Explicación:

Ya que este quártico no tiene raíces racionales (y no puedo molestarme con las fórmulas), comenzamos usando el método de Newton para aproximar las raíces:

# x ~~ -0.303 #

# x ~~ -0.618 #

# x ~~ 1.618 #

# x ~~ 3.303 #

De estos, encontramos que # x ~~ -0.618 # y # x ~~ 1.618 # destacar. Reconocemos estos como la proporción de oro:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

También podemos verificar que son raíces insertándolas en la ecuación, pero puede simplemente tomar mi palabra de que realmente son raíces.

Esto significa que el siguiente es un factor de la ecuación:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = x ^ 2-x-1 #

Ya que sabemos # x ^ 2-x-1 # es un factor, podemos usar la división polinómica larga para averiguar el resto y reescribir la ecuación de la siguiente manera:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Ya hemos descubierto cuándo el factor de la izquierda es igual a cero, por lo que ahora miramos a la derecha. Podemos resolver la cuadrática usando la fórmula cuadrática para obtener:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #