La función f (x) = sin (3x) + cos (3x) es el resultado de una serie de transformaciones, siendo la primera una traducción horizontal de la función sin (x). ¿Cuál de las siguientes describe la primera transformación?

Responder:

Podemos obtener la gráfica de # y = f (x) # desde # ysinx # Aplicando las siguientes transformaciones:

• una traducción horizontal de # pi / 12 # radianes a la izquierda

• un tramo a lo largo #Buey# con un factor de escala de #1/3# unidades

• un tramo a lo largo # Oy # con un factor de escala de #sqrt (2) # unidades

Explicación:

Considere la función:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Supongamos que podemos escribir esta combinación lineal de seno y coseno como una función sinusoidal de una sola fase, eso es, supongamos que tenemos:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

En cuyo caso comparando los coeficientes de # sin3x # y # cos3x # tenemos:

# Acos alfa = 1 # y # Asinalpha = 1 #

Al cuadrar y agregar tenemos:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Al dividir tenemos:

# tan alfa => alfa = pi / 4 #

Así podemos escribir, #f (x) # en la forma:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Así podemos obtener la gráfica de # y = f (x) # desde # ysinx # Aplicando las siguientes transformaciones:

• una traducción horizontal de # pi / 12 # radianes a la izquierda
• un tramo a lo largo #Buey# con un factor de escala de #1/3# unidades
• un tramo a lo largo # Oy # con un factor de escala de #sqrt (2) # unidades

Que podemos ver gráficamente:

La grafica de # y = sinx #:

gráfica {sinx -10, 10, -2, 2}

La grafica de # y = pecado (x + pi / 12) #:

gráfica {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

La grafica de # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

gráfica {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

La grafica de # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

gráfico {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Y por último, la gráfica de la función original para comparación:

gráfica {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}