¿Cuál es la derivada de x ^ n?

Para la funcion #f (x) = x ^ n #, n debería no igual a 0, por razones que quedarán claras. n también debe ser un número entero o un número racional (es decir, una fracción).

La regla es:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

En otras palabras, "tomamos prestado" el poder de x y lo convertimos en el coeficiente de la derivada, y luego restamos 1 del poder.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Como mencioné, el caso especial es donde n = 0. Esto significa que

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Podemos usar nuestra regla y técnicamente obtener la respuesta correcta:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Sin embargo, más adelante en el camino, nos encontraremos con complicaciones cuando intentemos usar el inverso de esta regla.

Responder:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

A continuación se muestran las pruebas para cada número, pero solo la prueba para todos los enteros utiliza el conjunto de habilidades básicas de la definición de derivados. La prueba para todos los racionales usa la regla de la cadena y para los irracionales usa la diferenciación implícita

Explicación:

Dicho esto, los mostraré a todos aquí, para que puedan comprender el proceso. Ten cuidado con eso #será# ser bastante largo

Desde #y = x ^ (n) #, Si #n = 0 # tenemos #y = 1 # y la derivada de una constante es siempre cero.

Si #norte# Es cualquier otro entero positivo que podamos incluir en la fórmula derivada y usar el teorema binomial para resolver el problema.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Dónde # K_i # es la constante apropiada

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dividiendo eso # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Podemos sacar el primer término de la suma.

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Tomando el límite, todo lo demás aún en la suma va a cero. Calculador # K_1 # vemos que es igual #norte#, asi que

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

por #norte# que son enteros negativos es un poco más complicado. Sabiendo que # x ^ -n = 1 / x ^ b #, tal que #b = -n # y por lo tanto es positivo.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Sacar el primer término

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Toma el limite donde # K_1 = b #, sustituyendo a #norte#

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Para los racionales necesitamos usar la regla de la cadena. Es decir.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Entonces, sabiendo que # x ^ (1 / n) = raíz (n) (x) # y asumiendo #n = 1 / b # tenemos

# (x ^ n) ^ b = x #

Si #segundo# Es par, la respuesta es técnicamente. # | x | # Pero esto es lo suficientemente cerca para nuestros propósitos.

Entonces, usando la regla de la cadena tenemos

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Y por último, pero no menos importante, mediante la diferenciación implícita podemos probar todos los números reales, incluidos los irracionales.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #