¿Cuál es la derivada de x ^ x?

Responder:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Explicación:

Tenemos:

# y = x ^ x # Tomemos el registro natural en ambos lados.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Usando el hecho de que #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Aplicar # d / dx # a ambos lados.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

La regla de la cadena:

Si #f (x) = g (h (x)) #, entonces #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Regla de poder

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # Si #norte# es una constante

También, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Por último, la regla del producto:

Si #f (x) = g (x) * h (x) #, entonces #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Tenemos:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(No te preocupes cuando # x = 0 #, porque #ln (0) # es indefinido)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Ahora desde # y = x ^ x #, podemos sustituirlo # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #