¿Encuentra el área de la región sombreada?

Responder:

Por favor ver más abajo.

Explicación:

Cuando aprendemos a encontrar áreas por integración, tomamos rectángulos representativos verticalmente.

Los rectángulos tienen base. # dx # (un pequeño cambio en #X#) y alturas iguales a las mayores # y # (el que está en la curva superior) menos el menor # y # Valor (el de la curva inferior). Luego nos integramos desde los más pequeños. #X# valor al mayor #X# valor.

Para este nuevo problema, podríamos usar dos intergral (vea la respuesta de Jim S), pero es muy valioso aprender a cambiar nuestra forma de pensar. #90^@#.

Tomaremos rectángulos representativos horiontalmente.

Los rectángulos tienen altura. # dy # (un pequeño cambio en # y #) y bases iguales a las mayores #X# (el que está en la curva más a la derecha) menos el menor #X# valor (el que está en la curva más a la izquierda). Luego nos integramos desde los más pequeños. # y # valor al mayor # y # valor.

Note la dualidad

# {:("vertical", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("upper", iff, "rightstost"), ("lower", iff, "leftmost"), (x, iff, y):} #

La frase "desde el más pequeño". #X# valor al mayor #X# valor "indica que nos integramos de izquierda a derecha. (En la dirección de aumento #X# valores.)

La frase "desde el más pequeño". # y # valor al mayor # y # valor "indica que integramos de abajo a arriba. (En la dirección de aumento # y # valores.)

Aquí hay una imagen de la región con un pequeño rectángulo indicado:

El area es

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Responder:

El área de la región sombreada es # 1m ^ 2 #

Explicación:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (podemos ver en el gráfico)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (También podemos ver en el gráfico)

Una de las muchas maneras en que se puede expresar el área de la región sombreada podría ser como el área del triángulo # AhatOB = Ω # excluyendo el área cian que llamaré #color (cian) (Ω_3) #

Dejar #Ω_1# ser el área negra que se muestra en la gráfica y #color (verde) (Ω_2) # El área verde que se muestra en el gráfico.

El área del triángulo pequeño. # ChatAD = # #color (verde) (Ω_2) # estarán:

• #color (verde) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

El área de #Ω_1# estarán:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Como resultado, el área sombreada será

• #Ω_1## + color (verde) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #