Los dos lados de un triángulo miden 6 my 7 m de longitud y el ángulo entre ellos aumenta a una velocidad de 0.07 rad / s. ¿Cómo encuentra la velocidad a la que aumenta el área del triángulo cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es pi / 3?

Los pasos generales son:

Dibuje un triángulo consistente con la información dada, etiquetando la información relevante
Determine qué fórmulas tienen sentido en la situación (área de un triángulo completo basado en dos lados de longitud fija y relaciones de triángulos rectos para la altura variable)
Relaciona cualquier variable desconocida (altura) con la variable # (theta) # que corresponde a la única tasa dada # ((d theta) / (dt)) #
Haga algunas sustituciones en una fórmula "principal" (la fórmula de área) para que pueda anticipar el uso de la tasa dada
Diferencie y use la tasa dada para encontrar la tasa a la que apunta # ((dA) / (dt)) #

Vamos a anotar formalmente la información:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" #

Entonces tienes dos lados de longitud fija y un ángulo entre ellos. La tercera longitud es un valor variable, pero técnicamente es una longitud irrelevante. Lo que queremos es # (dA) / (dt) #. Sin embargo, no hay indicios de que este sea un triángulo rectángulo, así que comencemos suponiendo que no está en este momento.

Un triángulo teóricamente consistente es:

Tenga en cuenta que esto no es proporcionalmente representativo del triángulo verdadero. El área de esto se puede encontrar más fácilmente con:

#A = (B * h) / 2 #

donde nuestra base es por supuesto #6#. Que es # h #, ¿aunque? Si dibujamos una línea divisoria verticalmente desde el vértice hasta la base, automáticamente tenemos un triángulo rectángulo en el lado izquierdo del triángulo general. sin importar de la longitud del lado #X#:

Ahora nosotros hacer tener un triángulo rectángulo. Tenga en cuenta, sin embargo, que nuestra fórmula de área ha # h # pero no # theta #, y solo sabemos # (d theta) / (dt) #. Por lo tanto, tenemos que representar # h # en términos de un ángulo. Sabiendo que el único lado conocido en el triángulo rectángulo de la izquierda es el #7#lado alargado

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Hasta ahora, tenemos:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = color (verde) (h) # (3)

Entonces, podemos enchufar (3) dentro (2)diferenciar (2) e implícitamente adquirir # (d theta) / (dt) #y enchufe (1) dentro (2) para resolver # (dA) / (dt) #, nuestra meta:

#A = (6 * color (verde) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (azul) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0.07 rad / s") #

Finalmente, en #theta = pi / 3 #, tenemos #cos (pi / 3) = 1/2 # y:

# = 10.5 (0.07) = color (azul) ("0.735 u" ^ 2 "/ s") #

(tenga en cuenta que #6*7# significa que las unidades se convierten # "u" * "u" = "u" ^ 2 #y #2# no es una longitud de lado por lo que no tenía unidades. También, # "rad" # Generalmente se considera que se deja fuera, es decir, # "rad / s" => "1 / s" #)

La altitud de un triángulo aumenta a una velocidad de 1,5 cm / min, mientras que el área del triángulo aumenta a una velocidad de 5 cm cuadrados / min. ¿A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando la altitud es de 9 cm y el área es de 81 cm cuadrados?

Este es un problema de tipo de tasas (de cambio) relacionado. Las variables de interés son a = altitud A = área y, dado que el área de un triángulo es A = 1 / 2ba, necesitamos b = base. Las tasas de cambio dadas están en unidades por minuto, por lo que la variable independiente (invisible) es t = tiempo en minutos. Nos dan: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Y se nos pide que encontremos (db) / dt cuando a = 9 cm y A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, diferenciando con respecto a t, obtenemos: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Necesitaremos la regla del producto a la de

El agua sale de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000 cm3 / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante Si el tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es de 4 my Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es de 2 m, ¿cómo encuentra la velocidad a la que se está bombeando el agua al tanque?

Sea V el volumen de agua en el tanque, en cm ^ 3; Sea h la profundidad / altura del agua, en cm; y sea r el radio de la superficie del agua (en la parte superior), en cm. Como el tanque es un cono invertido, también lo es la masa de agua. Como el tanque tiene una altura de 6 my un radio en la parte superior de 2 m, triángulos similares implican que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, de modo que h = 3r. El volumen del cono de agua invertido es entonces V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ahora diferencie ambos lados con respecto al tiempo t (en minutos) para obtener frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {d

Un triángulo tiene lados A, B y C. El ángulo entre los lados A y B es (5pi) / 6 y el ángulo entre los lados B y C es pi / 12. Si el lado B tiene una longitud de 1, ¿cuál es el área del triángulo?

Suma de ángulos da un triángulo isósceles. La mitad del lado de entrada se calcula a partir de cos y la altura del pecado. El área se encuentra como la de un cuadrado (dos triángulos). Área = 1/4 La suma de todos los triángulos en grados es 180 ° o en grados o π en radianes. Por lo tanto: a + b + c = π π / 12 + x + (5π) / 6 = π x = π-π / 12- (5π) / 6 x = (12π) / 12-π / 12- (10π) / 12 x = π / 12 Notamos que los ángulos a = b. Esto significa que el triángulo es isósceles, lo que lleva a B = A = 1. La siguiente imagen muestra cómo se puede calcular la altura opuesta