¿Cuál es la ecuación de la línea que es normal a la curva polar f (theta) = - 5th-sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) en theta = ¿Pi?

Responder:

La linea es #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Explicación:

Este gigante de una ecuación se deriva a través de un proceso algo largo. Primero delinearé los pasos por los cuales procederá la derivación y luego los realizaré.

Nos dan una función en coordenadas polares, #f (theta) #. Podemos tomar el derivado, #f '(theta) #, pero para encontrar una línea en coordenadas cartesianas, necesitaremos # dy / dx #.

Podemos encontrar # dy / dx # utilizando la siguiente ecuación:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Luego, conectaremos esa pendiente en la forma de línea cartesiana estándar:

#y = mx + b #

E inserte las coordenadas polares convertidas cartesianas de nuestro punto de interés:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) pecado (theta) #

Algunas cosas que deberían ser evidentes de inmediato y nos ahorrarán tiempo en la línea. Estamos tomando una línea tangente al punto. #theta = pi #. Esto significa que #sin (theta) = 0 # asi que…

1) Nuestra ecuación para # dy / dx # en realidad será:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Nuestras ecuaciones para las coordenadas cartesianas de nuestro punto serán:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Comenzando a resolver realmente el problema, entonces, nuestra primera tarea es encontrar #f '(theta) #. No es difícil, solo tres derivadas fáciles con la regla de la cadena aplicada a dos:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 seg ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Ahora queremos saber #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

Y #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 seg ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Con estos en mano, estamos listos para determinar nuestra pendiente:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Podemos enchufar esto como #metro# en #y = mx + b #. Recordemos que previamente hemos determinado que # y = 0 # y #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Podemos combinar nuestro previamente determinado. #metro# con nuestro recién determinado #segundo# Para dar la ecuación para la recta:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #