¿Cuál es la derivada de -sin (x)?

La respuesta anterior contiene errores. Aquí está la derivación correcta.

En primer lugar, el signo menos delante de una función. #f (x) = - sin (x) #, al tomar un derivado, cambiaría el signo de un derivado de una función #f (x) = sin (x) # a lo contrario. Este es un teorema fácil en la teoría de los límites: el límite de una constante multiplicada por una variable es igual a esta constante multiplicada por el límite de una variable. Entonces, encontremos la derivada de #f (x) = sin (x) # y luego multiplicarlo por #-1#.

Tenemos que comenzar desde la siguiente declaración sobre el límite de la función trigonométrica. #f (x) = sin (x) # como su argumento tiende a cero:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

La prueba de esto es puramente geométrica y se basa en la definición de una función. #sin (x) #. Hay muchos recursos web que contienen una prueba de esta declaración, como The Math Page.

Usando esto, podemos calcular un derivado de #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Usando la representación de una diferencia de #pecado# funciona como un producto de #pecado# y # cos # (ver Unizor, Trigonometría - Trig Suma de ángulos - Problemas 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Por lo tanto, derivado de #f (x) = - pecado (x) # es #f '(x) = - cos (x) #.