¿Qué significa el límite de una secuencia infinita?

El límite de una secuencia infinita nos dice sobre el comportamiento a largo plazo de la misma.

Dada una secuencia de números reales. #un#es limite #lim_ (n a oo) a_n = lim a_n # se define como el valor único al que se aproxima la secuencia (si se aproxima a cualquier valor) a medida que hacemos el índice #norte# más grande. El límite de una secuencia no siempre existe. Si lo hace, se dice que la secuencia es convergente de lo contrario se dice que es divergente.

Dos ejemplos simples:

Considera la secuencia # 1 / n #. Es fácil ver que su límite es #0#. De hecho, dado un valor positivo cercano a #0#, siempre podemos encontrar un valor suficientemente grande de #norte# tal que # 1 / n # es menor que este valor dado, lo que significa que su límite debe ser menor o igual a cero. Además, cada término de la secuencia es mayor que cero, por lo que su límite debe ser mayor o igual a cero. Por tanto, es #0#.
Toma la secuencia constante #1#. Es decir, para cualquier valor dado de #norte#, el termino #un# de la secuencia es igual a #1#. Está claro que no importa lo grandes que hagamos #norte# el valor de la secuencia es #1#. Así que el límite es #1#.

Para una definición más rigurosa, vamos a #un# Ser una secuencia de números reales (es decir, #forall n en NN: a_n en RR #) y #epsilon en RR #. Entonces el numero #una# se dice que es el límite de la secuencia #un# si y solo si:

#forall épsilon> 0 existe N en NN: n> N => | a_n - a | <épsilon #

Esta definición es equivalente a la definición informal dada anteriormente, excepto que no necesitamos imponer unicidad para el límite (se puede deducir).

El primer y segundo término de una secuencia geométrica son, respectivamente, el primer y tercer término de una secuencia lineal. El cuarto término de la secuencia lineal es 10 y la suma de sus primeros cinco términos es 60 ¿Encontrar los primeros cinco términos de la secuencia lineal?

{16, 14, 12, 10, 8} Una secuencia geométrica típica puede representarse como c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ ky una secuencia aritmética típica como c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdotas, c_0a + kDelta Llamando a c_0 a como el primer elemento para la secuencia geométrica tenemos {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "El primero y segundo de GS son el primero y el tercero de un LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "El cuarto término de la secuencia lineal es 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "La suma de sus primeros cinco términos es 60"):} Resolviendo para c_0, a, D

¿Puedes encontrar el límite de la secuencia o determinar que el límite no existe para la secuencia {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?

La secuencia tiene el mismo comportamiento que n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n cuando n es grande Debes manipular la expresión solo un poco para que esa afirmación de arriba sea clara. Divide todos los términos por n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Todos estos límites existen cuando n-> oo, entonces tenemos: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, por lo que la secuencia tiende a 0

¿Cuál es la diferencia entre una secuencia infinita y una serie infinita?

Una secuencia infinita de números es una lista ordenada de números con un número infinito de números. Se puede pensar en una serie infinita como la suma de una secuencia infinita.