Sea x, y, z son tres números reales y distintos que satisfacen la Ecuación 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, entonces ¿Cuáles de las siguientes opciones son correctas? ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z están en A.P

Responder:

La respuesta es (a).

Explicación:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # Se puede escribir como

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

o # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

es decir # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

Si # a = 4x #, # b = 2y # y # c = z #, entonces esto es

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

o # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

o # (a ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

o # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Ahora bien, si la suma de tres cuadrados es #0#, cada uno debe ser cero.

Por lo tanto # a-b = 0 #, # b-c = 0 # y # c-a = 0 #

es decir # a = b = c # y en nuestro caso # 4x = 2y = z = k # decir

entonces # x = k / 4 #, # y = k / 2 # y # z = k #

es decir # x, y # y # z # están en G.P, y # x / y = 2/4 = 1/2 #

# y / z = 1/2 # y por lo tanto la respuesta es (a).

# x, y, z # Son tres números reales y distintos que satisfacen la ecuación.

Dado

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Suma tres cantidades reales cuadradas siendo cero, cada una de ellas debe ser cero.

Por lo tanto # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #Opción (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

y

# 2y-z = 0 => 2y = z #