¿Cuáles son las soluciones aproximadas de 5x ^ 2 - 7x = 1 redondeadas a la centésima más cercana?

Restando #1# De ambos lados obtenemos:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Esto es de la forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 #, con #a = 5 #, #b = -7 # y #c = -1 #.

La fórmula general para las raíces de tal cuadrática nos da:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0.7 + - sqrt (69) / 10 #

¿Qué es una buena aproximación para #sqrt (69) #?

Podríamos meterlo en una calculadora, pero hagámoslo a mano usando Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, asi que #8# Parece una buena primera aproximación.

Luego itera usando la fórmula:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Dejar # a_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8.3125 #

Esto es casi seguro que es lo suficientemente bueno para la precisión solicitada.

Asi que #sqrt (69) / 10 ~ = 8.3 / 10 = 0.83 #

#x ~ = 0.7 + - 0.83 #

Es decir #x ~ = 1.53 # o #x ~ = -0.13 #

Volver a escribir # 5x ^ 2-7x = 1 # en la forma estándar de # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dando

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

luego usa la fórmula cuadrática para las raíces:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

En este caso

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Usando una calculadora:

#sqrt (69) = 8.306624 # (aprox.)

Asi que

# x = 15.306624 / 10 = 1.53 # (redondeado a la centésima más cercana)

o

#x = -1.306624 / 10 = -0.13 # (redondeado a la centésima más cercana)