¿Cuál es el valor mínimo de g (x) = x / csc (pi * x) en el intervalo [0,1]?

Responder:

Hay un valor mínimo de #0# ubicado tanto en # x = 0 # y # x = 1 #.

Explicación:

Primero, podemos escribir inmediatamente esta función como

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Recordando que #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Ahora, para encontrar los valores mínimos en un intervalo, reconozca que pueden ocurrir en los puntos finales del intervalo o en cualquier valor crítico que ocurra dentro del intervalo.

Para encontrar los valores críticos dentro del intervalo, establezca la derivada de la función igual a #0#.

Y, para diferenciar la función, tendremos que utilizar el regla del producto. La aplicación de la norma del producto nos da

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Cada uno de estos derivados da:

# d / dx (x) = 1 #

Y, a través de la cadena de reglas:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Combinando estos, vemos que

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Así, los valores críticos ocurrirán siempre que

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

No podemos resolver esto de manera algebraica, así que usa una calculadora para encontrar todos los ceros de esta función en el intervalo dado #0,1#:

gráfico {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Los dos valores críticos dentro del intervalo están en # x = 0 # y # xapprox0.6485 #.

Por lo tanto, sabemos que el valor mínimo de #g (x) # podría ocurrir en #3# diferentes lugares:

• # x = 0 # o # x = 1 #, los puntos finales del intervalo
• # x = 0 # o # x = 0.6485 #, los valores críticos dentro del intervalo

Ahora, conecta cada uno de estos valores posibles en el intervalo:

# {(g (0) = 0, color (rojo) texto (mínimo)), (g (0.6485) = 0.5792, color (azul) texto (máximo)), (g (1) = 0, color (rojo) texto (mínimo):} #

Ya que hay dos valores que son igualmente bajos, hay mínimos tanto en # x = 0 # y # x = 1 #. Tenga en cuenta que a pesar de que pasamos por encontrar el problema de # x = 0.6485 #, ni siquiera era un mínimo.

Graficado es #g (x) # en el intervalo #0,1#:

gráfico {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Además, tenga en cuenta que el valor mínimo es #0#, ya que #g (0) = g (1) = 0 #. La distinción es que # x = 0 # y # x = 1 # Son las ubicaciones de los mínimos.