¿Cuál es el valor mínimo de g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? en el intervalo [-2,2]?

Responder:

El valor mínimo está en # x = 1-sqrt 5 approx "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #.

Explicación:

En un intervalo cerrado, las posibles ubicaciones para un mínimo serán:

• un mínimo local dentro del intervalo, o
• Los puntos finales del intervalo.

Por lo tanto, calculamos y comparamos valores para #g (x) # a cualquiera #x en "-2", 2 # lo que hace #g '(x) = 0 #, así como en #x = "- 2" # y # x = 2 #.

Primero: que es #g '(x) #? Usando la regla del cociente, obtenemos:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (blanco) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (blanco) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Esto será igual a cero cuando el numerador sea cero. Por la fórmula cuadrática, obtenemos

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 approx {"-1.236", 3.236} #

Solo uno de estos #X#-los valores está en #'-2',2#, y eso es # x = 1-sqrt 5 #.

Ahora, calculamos:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (blanco) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * color (azul) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (blanco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (blanco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

Comparando estos tres valores de #g (x) #, vemos eso #g (1-sqrt 5) # es la más pequeña. Asi que # - (1+ sqrt 5) / 8 # es nuestro valor mínimo para #g (x) # en #'-'2, 2#.