Sean 5a + 12b y 12a + 5b las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y 13a + kb sean la hipotenusa, donde a, b y k son enteros positivos. ¿Cómo encuentras el valor más pequeño posible de k y los valores más pequeños de a y b para ese k?

Responder:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Explicación:

Por el teorema de Pitágoras, tenemos:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Es decir:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (blanco) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Resta el lado izquierdo de ambos extremos para encontrar:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (blanco) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Ya que #b> 0 # necesitamos:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Entonces desde #a, b> 0 # necesitamos # (240-26k) # y # (169-k ^ 2) # tener signos opuestos.

Cuando #k en 1, 9 # ambos # 240-26k # y # 169-k ^ 2 # son positivos

Cuando #k en 10, 12 # encontramos # 240-26k <0 # y # 169-k ^ 2> 0 # según sea necesario.

Así que el valor mínimo posible de # k # es #10#.

Entonces:

# -20a + 69b = 0 #

Entonces desde #20# y #69# no tienen un factor común mayor que #1#, los valores mínimos de #una# y #segundo# son #69# y #20# respectivamente.