¿Cuál es la derivada de f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Método 1:

Comenzaremos utilizando la regla de cambio de base para volver a escribir #f (x) # equivalentemente como:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Lo sabemos # d / dx ln x = 1 / x #.

(Si esta identidad no le resulta familiar, consulte algunos de los videos en esta página para obtener una explicación más detallada)

Entonces, aplicaremos la regla de la cadena:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

El derivado de #ln x / 6 # estarán # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

La simplificación nos da:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Método 2:

Lo primero a tener en cuenta es que solamente # d / dx ln (x) = 1 / x # dónde #ln = log_e #. En otras palabras, solo si la base es #mi#.

Por lo tanto, debemos convertir el # log_6 # a una expresión que tiene solamente #log_e = ln #. Esto lo hacemos usando el hecho.

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # cuando # n = e #

Ahora deja #z = (ln x / ln 6) # así que eso #f (x) = z ^ 2 #

Por lo tanto, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #