Sea vec (x) un vector, de modo que vec (x) = ( 1, 1), "y sea" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], que es Rotación Operador. Para theta = 3 / 4pi encuentra vec (y) = R (theta) vec (x)? Haz un bosquejo que muestre x, y, y θ?

Esto resulta ser una rotación a la izquierda. ¿Puedes adivinar cuántos grados?

Dejar #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # ser una transformación lineal, donde

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Tenga en cuenta que esta transformación fue representada como la matriz de transformación #R (theta) #.

Lo que significa es que # R # Es la matriz de rotación que representa la transformación rotacional, podemos multiplicar # R # por # vecx # para lograr esta transformación.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Por un # MxxK # y # KxxN # matriz, el resultado es un #color (verde) (MxxN) # matriz, donde #METRO# es el fila dimensión y #NORTE# es el columna dimensión. Es decir:

# (y_ (11), y_ (12),.., y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22),.., y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots), vdots), (y_ (m1), y_ (m2),.., y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),.., R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22),.., R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2),…, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12),…, x_ (1n)), x_ (21), x_ (22),.., x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2),…, x_ (kn)) #

Por lo tanto, para un # 2xx2 # matriz multiplicada por una # 1xx2 #, tenemos que transponer el vector para obtener una # 2xx1 # vector de columna, dándonos una respuesta que es una # mathbf (2xx1) # vector de columna.

Multiplicando estos dos da:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

A continuación, podemos enchufar #theta = (3pi) / 4 # (lo que supongo que es el ángulo correcto) para obtener:

#color (azul) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = color (azul) ((0), (- sqrt2)) #

Ahora, vamos a graficar esto para ver cómo se ve esto. Puedo decir que es una Rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj, después de determinar el vector transformado.

De hecho, una rotación hacia la izquierda por #135^@#.

DESAFÍO: Tal vez puedas considerar lo que sucede cuando la matriz es # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # en lugar. ¿Crees que será en el sentido de las agujas del reloj?

Sea el ángulo entre dos vectores no cero A (vector) y B (vector) sea 120 (grados) y su resultante sea C (vector). Entonces, ¿cuál de los siguientes es (son) correcto?

Opción (b) bb A * bb B = abs bbA abs bbB cos (120 ° o) = -1/2 abs bbA abs bbB bbC = bbA + bbB C ^ 2 = (bbA + bbB) * (bbA + bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 + 2 bbA * bb B = A ^ 2 + B ^ 2 - abs bbA abs bbB qquad cuadrado abs (bbA - bbB) ^ 2 = (bbA - bbB) * (bbA - bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 - 2bbA * bbB = A ^ 2 + B ^ 2 + abs bbA abs bbB qquad triángulo abs (bbA - bbB) ^ 2 - C ^ 2 = triángulo - cuadrado = 2 abs bbA abs bbB:. C ^ 2 lt abs (bbA - bbB) ^ 2, qquad bbA, bbB ne bb0:. abs bb C lt abs (bbA - bbB)

Ricky es dueño de una compañía de alquiler de autos y tomó su flota de 25 autos para que los revisen. Cada uno tiene un cambio de aceite y una rotación de neumáticos. Le enviaron una factura por $ 1225. Si la rotación de llantas cuesta $ 19 cada una, ¿cuánto fue un solo cambio de aceite?

Cada cambio de aceite es de $ 30. Hay 25 automóviles y la factura total es de $ 1225. Por lo tanto, el costo de cada automóvil es de $ 1225 div. 25 = $ 49 Este costo cubre la rotación de los neumáticos ($ 19) y un cambio de aceite (x) x + $ 19 = $ 49 x = $ 49 - $ 19 x = $ 30

Muestre mediante el método de la matriz que una reflexión sobre la línea y = x seguida de una rotación sobre el origen hasta 90 ° + ve es equivalente a la reflexión sobre el eje y.

Vea a continuación Reflexión sobre la línea y = x El efecto de esta reflexión es cambiar los valores x e y del punto reflejado. La matriz es: A = ((0,1), (1,0)) Rotación de CCW de un punto Para rotaciones de CCW sobre el origen por ángulo alfa: R (alfa) = ((cos alfa, - sin alfa), (sen alfa, cos alfa)) Si combinamos estos en el orden sugerido: bb x '= A R (90 ^ o) bb x bb x' = ((0,1), (1,0)) ((0 , - 1), (1, 0)) bb x = ((1,0), (0, -1)) bb x implica ((x '), (y')) = ((1,0), (0, -1)) ((x), (y)) = ((x), (- y)) Eso es equivalente a una reflexión en el eje x. Haciéndolo una r