Responder:
Para que el tercer lado sea el más corto, requerimos # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (y eso #una# y #segundo# tienen el mismo signo).
Explicación:
El lado más largo de un triángulo rectángulo es siempre la hipotenusa. Así que sabemos que la longitud de la hipotenusa es # a ^ 2 + b ^ 2. #
Deje que la longitud del lado desconocido sea #do.# Luego, a partir del teorema de Pitágoras, sabemos
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
o
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (blanco) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (blanco) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (blanco) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (blanco) c = a ^ 2-b ^ 2 #
También requerimos que todas las longitudes de los lados sean positivas, por lo que
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 o b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 o a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Ahora para alguna triángulo, el lado más largo debe ser más corto que el suma de los otros dos lados. Entonces tenemos:
#color (blanco) (=>) 2ab + "" c color (blanco) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab color (blanco) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," si b> 0), (a <b "," si b <0):} #
Además, para que el tercer lado sea más pequeño, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
o # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # o # a-b <sqrt2b # o #a <b (1 + sqrt2) #
Combinando todas estas restricciones, podemos deducir que para que el tercer lado sea el más corto, debemos tener # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb y (a, b <0 o a, b> 0). #
