¿Cuáles son los extremos de f (x) = 3x-1 / sinx en [pi / 2, (3pi) / 4]?

Responder:

El mínimo absoluto en el dominio se produce en aprox. # (pi / 2, 3.7124) #, y el máximo absoluto en el dominio se produce en aprox. # (3pi / 4, 5.6544) #. No hay extremos locales.

Explicación:

Antes de empezar, nos corresponde analizar y ver si #sin x # adquiere un valor de #0# en cualquier punto del intervalo. #sin x # es cero para todo x tal que #x = npi #. # pi / 2 # y # 3pi / 4 # son menos que #Pi# y mayor que # 0pi = 0 #; así, #sin x # No toma un valor de cero aquí.

Para determinar esto, recuerde que ocurre un extremo donde #f '(x) = 0 # (puntos críticos) o en uno de los puntos finales. Teniendo esto en cuenta, tomamos la derivada de la f (x) anterior y encontramos puntos en los que esta derivada es igual a 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

¿Cómo deberíamos resolver este último término?

Considere brevemente la regla recíproca, que fue desarrollado para manejar situaciones como nuestro último término aquí, # d / (dx) (1 / sin x) #. La regla recíproca nos permite omitir directamente el uso de la regla de la cadena o del cociente indicando que dada una función diferenciable #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

cuando #g (x)! = 0 #

Volviendo a nuestra ecuación principal, lo dejamos con;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Ya que #sin (x) # Es diferenciable, podemos aplicar la regla recíproca aquí:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Poniendo este igual a 0, llegamos a:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Esto solo puede ocurrir cuando #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. A partir de aquí puede ser conveniente que utilicemos una de las definiciones trigonométricas, específicamente # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Esto se asemeja a un polinomio, con #cos x # Sustituyendo nuestro tradicional x. Así, declaramos #cos x = u # y…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Usando la fórmula cuadrática aquí …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Nuestras raíces se encuentran en #u = (1 + -sqrt37) / 6 # de acuerdo a esto. Sin embargo, una de estas raíces (# (1 + sqrt37) / 6 #) no puede ser una raíz para #cos x # porque la raíz es mayor que 1, y # -1 <= cosx <= 1 # para todos los x. Nuestra segunda raíz, por otro lado, calcula aproximadamente #-.847127#. Sin embargo, esto es menor que el valor mínimo que el #cos x # función puede en el intervalo (desde #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Así, No hay ningún punto crítico en el dominio..

Teniendo esto en cuenta, debemos volver a nuestros puntos finales y ponerlos en la función original. Al hacerlo, obtenemos #f (pi / 2) aprox. 3.7124, f (3pi / 4) aprox. 5.6544 #

Por lo tanto, nuestro mínimo absoluto en el dominio es aproximadamente # (pi / 2, 3.7124), # y nuestro máximo es de aproximadamente # (3pi / 4, 5.6544) #