¿Cuáles son las dimensiones de una caja que utilizará la cantidad mínima de materiales, si la empresa necesita una caja cerrada en la que el fondo tenga la forma de un rectángulo, donde la longitud sea dos veces más larga que el ancho y la caja deben contener? 9000 pulgadas cúbicas de material?

Comencemos por poner algunas definiciones.

Si llamamos # h # la altura de la caja y #X# los lados más pequeños (por lo que los lados más grandes son # 2x #, podemos decir eso volumen

# V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 # de la cual extraemos # h #

# h = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 #

Ahora para el superficies (= material)

Arriba y abajo: # 2x * x # veces #2-># Área =# 4x ^ 2 #

Lados cortos: # x * h # veces #2-># Área =# 2xh #

Lados largos # 2x * h # veces #2-># Área =# 4xh #

Área total:

# A = 4x ^ 2 + 6xh #

Sustituyendo a # h #

# A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 #

Para encontrar lo mínimo, diferenciamos y configuramos. #UNA'# a #0#

# A '= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 #

Lo que lleva a # 8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375-> x = 15 #

Responder:

Lado corto es #15# pulgadas

Lado largo es #2*15=30# pulgadas

La altura es #4500/15^2=20# pulgadas

¡Comprueba tu respuesta! #15*30*20=9000#

La diagonal de un rectángulo es de 13 pulgadas. La longitud del rectángulo es 7 pulgadas más larga que su ancho. ¿Cómo encuentras la longitud y el ancho del rectángulo?

Llamemos a la anchura x. Entonces la longitud es x + 7. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectangular. Entonces: d ^ 2 = l ^ 2 + w ^ 2 o (completando lo que sabemos) 13 ^ 2 = 169 = (x + 7) ^ 2 + x ^ 2 = x ^ 2 + 14x + 49 + x ^ 2 -> 2x ^ 2 + 14x-120 = 0-> x ^ 2 + 7x-60 = 0 Una ecuación cuadrática simple que se resuelve en: (x + 12) (x-5) = 0-> x = -12orx = 5 la solución positiva se puede usar de modo que: w = 5 y l = 12 Extra: El triángulo (5,12,13) es el segundo triángulo pitagórico más simple (donde todos los lados son números enteros). El más simple es

La longitud de un rectángulo es 3 veces su ancho. Si la longitud se incrementara en 2 pulgadas y el ancho en 1 pulgada, el nuevo perímetro sería de 62 pulgadas. ¿Cuál es el ancho y la longitud del rectángulo?

La longitud es 21 y el ancho es 7 Usaré l para longitud y w para ancho Primero se da que l = 3w La longitud y anchura nuevas es l + 2 yw + 1 respectivamente También el perímetro nuevo es 62 Entonces, l + 2 + l + 2 + w + 1 + w + 1 = 62 o, 2l + 2w = 56 l + w = 28 Ahora tenemos dos relaciones entre l y w Sustituya el primer valor de l en la segunda ecuación Obtenemos, 3w + w = 28 4w = 28 w = 7 Poniendo este valor de w en una de las ecuaciones, l = 3 * 7 l = 21 Así que la longitud es 21 y el ancho es 7

El ancho de un rectángulo es 3 pulgadas menos que su longitud. El área del rectángulo es de 340 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo?

La longitud y el ancho son de 20 y 17 pulgadas, respectivamente. En primer lugar, consideremos x la longitud del rectángulo, y y su ancho. De acuerdo con la declaración inicial: y = x-3 Ahora, sabemos que el área del rectángulo está dada por: A = x cdot y = x cdot (x-3) = x ^ 2-3x y es igual a: A = x ^ 2-3x = 340 Entonces obtenemos la ecuación cuadrática: x ^ 2-3x-340 = 0 Resolvámosla: x = {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} / {2a} donde a, b, c provienen de ax ^ 2 + bx + c = 0. Al sustituir: x = {- (- 3) pm sqrt {(- 3) ^ 2-4 cdot 1 cdot (-340)}} / {2 cdot 1} = = {3 pm sqrt {1369}} / {2 } = {3