Pregunta # 242a2

Responder:

Por la energía almacenada en el condensador a tiempo. # t # tenemos #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # dónde #E (0) # es la energía inicial, #DO# la capacidad y # R # La resistencia del cable que conecta los dos lados del condensador.

Explicación:

Primero revisemos algunos conceptos básicos antes de responder a esta pregunta. Por supuesto, necesitamos saber la energía almacenada en el capacitor, o más bien la energía almacenada en el campo eléctrico creado por la carga almacenada en el capacitor. Para ello tenemos la fórmula. # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # con #DO# la capacidad del condensador y # Q # La carga almacenada en una de las placas de condensadores. 1

Entonces, para saber cómo disminuye la energía, necesitamos saber cómo disminuye la carga. Para esto hay algunas cosas que debemos tener en cuenta. Lo primero es que la carga solo puede disminuir si puede ir a cualquier parte. El escenario más simple es que las dos placas están conectadas a través de un cable, de modo que las placas pueden intercambiar carga para que se vuelvan neutrales. Lo segundo es que si asumiéramos que el cable no tiene resistencia, la carga podría moverse instantáneamente, por lo que la energía también caerá a cero a esa velocidad. Dado que esta es una situación aburrida, y además, no es realmente realista, asumimos que el cable tiene algo de resistencia # R #, que podemos modelar conectando las placas de los condensadores a través de una resistencia con resistencia # R # utilizando cables sin resistencia.

Lo que ahora tenemos es el llamado circuito RC, que se ve a continuación. Para averiguar cómo cambia la carga almacenada, debemos escribir una ecuación diferencial. No estoy seguro de cuán competente es el lector en matemáticas, así que avíseme si la siguiente sección no es clara para usted, y trataré de explicarlo con más detalle.

En primer lugar, observamos que cuando caminamos a lo largo del cable, experimentamos dos saltos de potencial eléctrico (voltaje), es decir, en el condensador y en la resistencia. Estos saltos están dados por # DeltaV_C = Q / C # y # DeltaV_R = IR # respectivamente 1. Notamos que inicialmente no hay corriente, por lo que la diferencia de potencial sobre la resistencia es 0, sin embargo, como veremos, habrá una corriente cuando los cargos comiencen a moverse. Ahora notamos que cuando caminamos alrededor del circuito comenzando desde un punto, terminaremos en ese mismo punto nuevamente, porque estamos en un circuito. En este punto único, el potencial es el mismo en ambas ocasiones, porque es el mismo punto. (Cuando digo que caminamos a lo largo del circuito, no me refiero a esto literalmente, sino que inspeccionamos los saltos de voltaje en el circuito en un punto en el tiempo, por lo que no pasa tiempo al caminar a lo largo del circuito, por lo que el argumento se mantiene, incluso si el voltaje cambia con el tiempo.)

Esto significa que el salto potencial total es cero. Asi que # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Ahora pensamos en que #YO#, la corriente es. La corriente es la carga en movimiento, quita la carga positiva de una placa de condensadores y la entrega es a la otra. (En realidad, la mayoría de las veces es al revés, pero no importa para las matemáticas de este problema.) Esto significa que la corriente es igual al cambio de carga en las placas, en otras palabras # I = (dQ) / dt #. Sustituir esto en la ecuación anterior nos da # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, lo que significa # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Esta es la llamada ecuación diferencial de primer orden lineal. Dicta el cambio en la carga por el valor de la carga en ese momento de manera lineal, lo que significa que si la carga fuera el doble de grande, el cambio en la carga también sería el doble. Podemos resolver esta ecuación mediante el uso inteligente del cálculo.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, asumimos # Qne0 #, que inicialmente no lo es, y como resultará, nunca lo será. Usando esto podemos decir # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Saber # Q # en algún momento en el tiempo # t # (en otras palabras #Q (t) #, integramos la ecuación de la siguiente manera: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # ya que #DO# y # R # son constantes # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # A través del cambio de variables. Esto significa #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, asi que #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Por último, necesitamos sustituir esto de nuevo en la ecuación para la energía:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Entonces la energía cae exponencialmente a través del tiempo. De hecho vemos que si # R # ir a cero, #E (t) # iría a 0 al instante.

1 Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica.. Cuarta edición. Pearson Education Limited, 2014