¿En qué se diferencia la sustitución trigonométrica de la sustitución u?

Responder:

Generalmente, la sustitución trigonométrica se usa para integrales de la forma # x ^ 2 + -a ^ 2 # o #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, mientras # u #La sustitución se usa cuando una función y su derivada aparecen en la integral.

Explicación:

Encuentro ambos tipos de sustituciones muy fascinantes por el razonamiento detrás de ellos. Consideremos, primero, la sustitución trigonométrica. Esto se deriva del Teorema de Pitágoras y las Identidades de Pitágoras, probablemente los dos conceptos más importantes en trigonometría. Usamos esto cuando tenemos algo como:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # dónde #una# es constante

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # otra vez asumiendo #una# es constante

Podemos ver que estos dos se parecen mucho a # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, que es el teorema de Pitágoras. Relaciona los dos lados de un triángulo rectángulo con la hipotenusa del triángulo. Si sacamos esto, podemos ver que sí, # x ^ 2 + a ^ 2 # Se puede representar con un triángulo:

La imagen es muy útil, porque nos dice. # tantheta = x / a #o # atantheta = x #; Esto forma la base de la sustitución trigonométrica. Además (y aquí es donde se pone increíble), cuando sustituyes # x = tantheta # dentro # x ^ 2 + a ^ 2 #, terminas con una identidad pitagórica, en este caso # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. A continuación, puede hacer algo de simplificación para # sec ^ 2theta # Si lo necesitas, y la integral es fácil de usar. Lo mismo ocurre con los casos. # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #y #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Puede utilizar trig sub. para una gran cantidad de problemas, pero puede utilizar # u #-Sustitución posiblemente más. Usamos esta técnica cuando tenemos algo como # intlnx / xdx #. Si somos observadores, vemos que tenemos dos funciones: # lnx # y # 1 / x #. Y si recordamos nuestros derivados básicos, lo sabemos. # d / dxlnx = 1 / x # para #x> 0 # (o # d / dxlnabs (x) = 1 / x # para #x! = 0 #). Así que la idea es decir let # u = lnx #; entonces # (du) / dx = 1 / x # y # du = dx / x #. El problema, después de hacer estas sustituciones, se simplifica a # intudu # - Una integral mucho más fácil que antes.

Si bien estas dos técnicas pueden ser diferentes, ambas tienen el mismo propósito: reducir una integral a una forma más simple para que podamos usar técnicas básicas. Estoy seguro de que mi explicación no es suficiente para incluir todos los detalles específicos sobre estas sustituciones, así que invito a otros a contribuir.