Responder:
#3:# # pi / 3 #
Explicación:
Tenemos:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (theta) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (sin (theta)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
Podemos probar cada uno de estos valores, y ver cuál da # 2sqrt3 + 4 #
#f (r) = suma_ (n = 0) ^ oor ^ n = 1 / (1-r) #
#f ((3pi) / 4) - = f (pi / 4) = 1 / (1-sin (pi / 4)) = 2 + sqrt2 #
#f (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#f (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 + 4 #
# pi / 3- = 3 #
Hay otra forma, usando la progresión geométrica.
La serie es # 1 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # que se puede escribir como
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # # porque "cualquier cosa" ^ 0 = 1 #
Nuestro primer término de progresión # a = 1 # y la razón común entre cada término de la serie es # r = sintheta #
La suma de una serie de Progresión Geométrica infinita viene dada por:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
Conectando los valores que hemos
# S_oo = 1 / (1-sintheta) #
Pero, # S_oo = 2sqrt3 + 4 # es dado.
Asi que, # 1 / (1-sintheta) = 2sqrt3 + 4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
Racionalizando el denominador en el lado izquierdo, # => color (rojo) ((2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) color (rojo) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # porque (a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (cancel2sqrt3) / cancel4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + cancel1 = cancel1-sintheta #
# => cancel-sqrt3 / 2 = cancel-sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = sin ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
Espero que esto ayude.:)
