Pregunta # 9be0d

Responder:

Esta ecuación es una aproximación de la energía relativista de una partícula para bajas velocidades.

Explicación:

Asumo un cierto conocimiento sobre la relatividad especial, a saber, que la energía de una partícula en movimiento observada desde un marco inercial viene dada por # E = gammamc ^ 2 #, dónde # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # El factor lorentz. aquí # v # es la velocidad de la partícula observada por un observador en un marco inercial.

Una herramienta de aproximación importante para los físicos es la aproximación de la serie de Taylor. Esto significa que podemos aproximar una función. #f (x) # por #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, lo mas alto #NORTE#, cuanto mejor sea la aproximación. De hecho, para una gran clase de funciones suaves, esta aproximación se vuelve tan exacta como #NORTE# va a # oo #. Tenga en cuenta que #f ^ ((n)) # representa el nth derivado de #F#.

Nos aproximamos a la función. #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # Para pequeños #X#, notamos que si #X# es pequeño, # x ^ 2 # será aún más pequeño, por lo que asumimos que podemos ignorar los factores de este orden. Entonces tenemos #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (esta aproximación en particular también se conoce como la aproximación de Newton). #f (0) = 0 # y #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, asi que #f '(0) = 1/2 #. Por lo tanto #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Ahora notamos que # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. De hecho si # v # es pequeño en relación a #do#, que será en situaciones cotidianas, la aproximación se mantiene, por lo que # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Sustituyendo esto en la ecuación para la energía total de una partícula da # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Esto nos da la energía cinética. #E _ ("kin") = E-E_ "resto" aproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # para velocidades bajas, lo que es consistente con las teorías clásicas. Para velocidades más altas, es aconsejable usar más términos de la serie de Taylor, que terminan con las llamadas correcciones relativistas de la energía cinética.