¿Qué son los cuaterniones?

Responder:

Un tipo de número para el cual la multiplicación no es generalmente conmutativa.

Explicación:

Numeros reales (# RR #) puede ser representado por una línea - un espacio unidimensional.

Números complejos (# CC #) puede ser representado por un plano - un espacio bidimensional.

Cuaterniones (H) puede ser representado por un espacio de cuatro dimensiones.

En aritmética ordinaria los números satisfacen las siguientes reglas:

Adición

Identidad: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Inverso: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Asociatividad #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Conmutatividad #AA a, b: a + b = b + a #

Multiplicación

Identidad: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverso de no cero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Asociatividad #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Conmutatividad #color (rojo) (AA a, b: a * b = b * a) #

Juntos

Distributividad: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#color blanco)()#

Estas reglas funcionan para el conjunto de números racionales. # QQ #, el conjunto de numeros reales # RR # y los números complejos # CC # y definir lo que se llama una campo - Un conjunto equipado con operaciones de suma y multiplicación que cumplen estas reglas.

Cuaterniones (H) son lo que se llama un campo sesgado o álgebra de división asociativa - un conjunto equipado con operaciones de suma y multiplicación que satisfagan todas estas condiciones, excepto la conmutatividad de la multiplicación.

Siendo tambien un #4# El espacio vectorial tridimensional sobre los Reales es el álgebra de división asociativa más grande sobre los Reales, los únicos otros dos son # RR # y # CC #.

Aparte del eje Real, las unidades de los otros tres ejes se denominan #yo#, # j # y # k #. Todas son raíces cuadradas de #-1#.

Estas tres unidades imaginarias satisfacen las siguientes condiciones:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Los cuaterniones pueden ser representados por # 2xx2 # matrices con valores complejos o por # 4xx4 # Matrices con valores reales.

Tienen aplicaciones en mecánica y física teórica.

#color blanco)()#

Nota

Note que dije de asociación álgebra de división. Más allá de los Cuaterniones están los Octoniones aún más extraños que eliminan el requisito de que la multiplicación sea asociativa.