La altitud de un triángulo aumenta a una velocidad de 1,5 cm / min, mientras que el área del triángulo aumenta a una velocidad de 5 cm cuadrados / min. ¿A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando la altitud es de 9 cm y el área es de 81 cm cuadrados?

Este es un problema de tipo de tasas (de cambio) relacionado.

Las variables de interés son:

#una# = altitud

#UNA# = área y, ya que el área de un triángulo es # A = 1 / 2ba #, necesitamos

#segundo# = base.

Las tasas de cambio dadas están en unidades por minuto, por lo que la variable independiente (invisible) es # t # = tiempo en minutos.

Se nos da:

# (da) / dt = 3/2 # cm / min

# (dA) / dt = 5 # cm#''^2#/ min

Y nos piden que encontremos # (db) / dt # cuando #a = 9 # cm y #A = 81 #cm#''^2#

# A = 1 / 2ba #, diferenciando con respecto a # t #, obtenemos:

# d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

Necesitaremos la regla del producto a la derecha.

# (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt #

Nos dieron todos los valores excepto # (db) / dt # (que estamos tratando de encontrar) y #segundo#. Usando la fórmula para área y los valores dados de #una# y #UNA#, Podemos ver eso # b = 18 #cm.

Sustituyendo

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2 #

Resolver # (db) / dt = -17 / 9 #cm / min.

La base está disminuyendo en #17/9# cm / min.