Un par de dados de seis caras se lanza ocho veces. ¿Encuentra la probabilidad de que una puntuación superior a 7 se obtenga como máximo cinco veces?

Responder:

#~=0.9391#

Explicación:

Antes de entrar en la pregunta en sí, hablemos sobre el método para resolverla.

Digamos, por ejemplo, que quiero explicar todos los resultados posibles al lanzar una moneda justa tres veces. Puedo obtener HHH, TTT, TTH y HHT.

La probabilidad de H es #1/2# y la probabilidad de T es también #1/2#.

Para HHH y para TTT, eso es # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cada.

Para TTH y HHT, también es # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cada uno, pero como hay 3 maneras en que puedo obtener cada resultado, termina siendo # 3xx1 / 8 = 3/8 # cada.

Cuando resumo estos resultados, obtengo #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - lo que significa que ahora tengo todos los resultados posibles del lanzamiento de la moneda.

Tenga en cuenta que si configuro # H # ser #pag# y por lo tanto tener # T # ser # ~ p #, y también note que tenemos una línea desde el Triángulo de Pascal #(1,3,3,1)#, hemos creado una forma de:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Y así, en este ejemplo, obtenemos:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Ahora podemos hacer el problema.

Nos dan el número de rollos como 8, así que # n = 8 #.

#pag# es la suma mayor que 7. Para encontrar la probabilidad de obtener una suma mayor que 7, veamos las posibles tiradas:

# ((color (blanco) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

De las 36 posibilidades, 15 tiradas dan una suma mayor que 36, dando una probabilidad de #15/36=5/12#.

Con # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Podemos escribir la suma completa de posibilidades, desde que los 8 rollos sean una suma mayor que 7 hasta que los 8 rollos sean una suma de 7 o menos:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

pero estamos interesados en resumir solo aquellos términos en los que nuestra suma superior a 7 ocurre 5 veces o menos:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Responder:

#0.93906#

Explicación:

# "Entonces P resultado> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ocurre k veces en 8 tiros" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(Distribución binomial)"#

# "con" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinaciones)" #

#"Asi que, "#

#P "ocurre como máximo 5 veces en 8 tiros" #

# = 1 - P "ocurre 6, 7 u 8 veces en 8 tiros" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#