Mostrar que c <1? - Cálculo 2024

Resuelto.

#F# es continuo en # RR # y entonces # - 1,1 subeRR #.

#f (1) f (-1) <0 #

Según el teorema de Bolzano (generalización)

#EE x_0 ##en## (- 1,1): f (x_0) = 0 #

Supuesto # | c |> = 1 # #<=># #c> = 1 # o #c <= - 1 #

Si #c> = 1 # entonces #f (x)! = 0 # Si #X##en## (- oo, c) uu (c, + oo) #

Sin embargo, #f (x_0) = 0 # con # x_0 ##en##(-1,1)# #=># #-1 <# # x_0 # # <1 <= c # #=># # x_0 ##en## (- oo, c) #

¡CONTRADICCIÓN!

Si #c <= - 1 # entonces #f (x)! = 0 # Si #X##en## (- oo, c) uu (c, + oo) #

Sin embargo, #f (x_0) = 0 # con # x_0 ##en##(-1,1)# #=>#

#c <= - 1 # #<# # x_0 <1 # #=># # x_0 ##en## (c, + oo) #

¡CONTRADICCIÓN!

Por lo tanto, # | c | <1 #

Sea A (x_a, y_a) y B (x_b, y_b) dos puntos en el plano y sea P (x, y) el punto que divide la barra (AB) en la relación k: 1, donde k> 0. Mostrar que x = (x_a + kx_b) / (1 + k) e y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Vea la prueba a continuación Comencemos calculando vec (AB) y vec (AP) Comenzamos con x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k Multiplicando y reorganizando (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Resolviendo para x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + 1) ) x = x_a + kx_b x = (x_a + kx_b) / (k + 1) De manera similar, con y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k +1) - (k + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)

Deje que el sombrero (ABC) sea cualquier triángulo, barra de estiramiento (AC) a D tal que la barra (CD) bar (CB); también estire la barra (CB) en E de manera que la barra (CE) bar (CA). Los segmentos barra (DE) y barra (AB) se encuentran en F. Mostrar ese sombrero (¿DFB es isósceles?

Como sigue Ref: Dada la figura "En" DeltaCBD, bar (CD) ~ = bar (CB) => / _ CBD = / _ CDB "Otra vez en" DeltaABC y DeltaDEC bar (CE) ~ = bar (AC) -> "por construcción "bar (CD) ~ = bar (CB) ->" por construcción "" Y "/ _DCE =" verticalmente opuesto "/ _BCA" De aquí "DeltaABC ~ = DeltaDCE => / _ EDC = / _ ABC" Ahora en "DeltaBDF, / _FBD = / _ ABC + / _ CBD = / _ EDC + / _ CDB = / _ EDB = / _ FDB "So" barra (FB) ~ = bar (FD) => DeltaFBD "is isosceles"

Uno puede argumentar que esta pregunta puede en geometría, pero esta propiedad del Arbelo es elemental y una buena base para pruebas intuitivas y de observación, ¿por lo tanto, mostrar que la longitud del límite inferior de los arbelos es igual al límite superior de la longitud?

Llamando a hat (AB) la longitud de semicircunferencia con el radio r, hat (AC) la longitud de semicircumference del radio r_1 y hat (CB) la longitud de la semicircunferencia con radio r_2 Sabemos que hat (AB) = lambda r, hat (AC) = lambda r_1 y hat (CB) = lambda r_2 luego hat (AB) / r = hat (AC) / r_1 = hat (CB) / r_2 pero hat (AB) / r = (hat (AC) + hat (CB)) / (r_1 + r_2) = (hat (AC) + hat (CB)) / r porque si n_1 / n_2 = m_1 / m_2 = lambda entonces lambda = (n_1pmm_1) / (n_2pmm_2) = (lambda n_2pm lambda m_2) / (n_2pmm_2) ) = lambda así que hat (AB) = hat (AC) + hat (CB)