Dos satélites P_ "1" y P_ "2" giran en órbitas de radios R y 4R. La relación de las velocidades angulares máxima y mínima de la línea que une P_ "1" y P_ "2" es ??

Responder:

#-9/5#

Explicación:

Según la tercera ley de Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 implica omega propto R ^ {- 3/2} #, si la velocidad angular del satélite exterior es #omega#, la del interior es #omega veces (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Dejenos considerar # t = 0 # para ser un instante cuando los dos satélites son colineales con el planeta madre, y tomemos esta línea común como la #X# eje. Luego, las coordenadas de los dos planetas al tiempo. # t # son # (R cos (8omega t), R sen (8omega t)) # y # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, respectivamente.

Dejar # theta # ser el ángulo que la línea une los dos satélites hace con el #X# eje. Es fácil ver eso

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Diferenciación de rendimientos.

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 veces #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 pecado (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega pecado (omega t) +8 omega pecado (8 omega t)) #

Así

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 pecado ^ 2 (omega t) -9 pecado (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implica #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) implica #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equivale a 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Donde la funcion

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

tiene el derivado

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

y por lo tanto está disminuyendo monótonamente en el intervalo #-1,1#.

Así, la velocidad angular. # (d theta) / dt # es máximo cuando #cos (7 omega t) # Es mínimo, y viceversa.

Asi que, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 veces (-1)) / (17-8 veces (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega veces 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 veces 1) / (17-8 veces 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega veces (-1) / 9 = -4/3 omega #

Y así, la relación entre los dos es:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Nota El hecho de que # (d theta) / dt # El signo de los cambios es la causa del llamado movimiento retrógrado aparente