¿Cuál es la cantidad de forma en que un examinador puede asignar 30 puntos a 8 preguntas dadas con no menos de 2 puntos a cualquier pregunta?

Responder:

#259459200#

Explicación:

Si estoy leyendo esto correctamente, entonces si el examinador puede asignar marcas solo en múltiplos de 2. Esto significaría que solo hay 15 opciones de las 30 marcas.e.e. #30/2 = 15#

Luego tenemos 15 opciones distribuidas en las 8 preguntas.

Usando la fórmula para permutaciones:

# (n!) / ((n - r)!) #

Dónde #norte# es el número de objetos (en este caso las marcas en grupos de 2).

Y # r # es cuántos se toman a la vez (en este caso las 8 preguntas)

Entonces tenemos:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Responder:

Existen # "" _ 21C_14 # (o 116,280) maneras.

Explicación:

Comenzamos con 30 marcas en el "banco" para dar. Dado que todas las preguntas deben valer al menos 2 puntos, tomamos # 2 xx 8 = 16 # marcas de la #30# Y distribuirlos por igual. Ahora cada pregunta tiene 2 (hasta ahora) y el "banco" se queda con #30-16=14# marcas.

Ahora solo tenemos que encontrar el número de formas de repartir las 14 marcas restantes entre las 8 preguntas. Al principio, esto puede parecer muy difícil, pero hay un truco que lo hace mucho más intuitivo.

Simplifiquemos las cosas por un momento. ¿Qué pasaría si solo tuviéramos 2 preguntas y 14 marcas para dividirlas? ¿De cuántas maneras podríamos hacer eso? Bueno, podríamos dividir las marcas como 14 + 0, o 13 + 1, o 12 + 2, etc. … o 1 + 13, o 0 + 14. En otras palabras, cuando solo necesitamos introducir 1 división (entre 2 preguntas), obtenemos 15 formas de hacerlo.

Esto es lo mismo que preguntar: "¿De cuántas maneras únicas podemos colocar 14 canicas amarillas (las marcas) y 1 canica azul (el separador de preguntas) en una fila?" La respuesta a esto se encuentra calculando el número de permutaciones de las 15 canicas (que es #15!#), luego dividiendo por el número de formas de permutar ambas canicas amarillas #(14!)# y canicas azules #(1!)#, ya que dentro de cada arreglo, no importa en qué orden aparecen las canicas idénticas.

Entonces, cuando hay 14 canicas amarillas (marcas) y 1 canica azul (separador de preguntas), hay

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Cancel (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 maneras de arreglar las canicas (dividir las marcas). Nota: esto es igual a # "" _ 15C_14 #.

Introduzcamos otra canica azul, es decir, una segunda división o una tercera pregunta para dar las marcas. Ahora tenemos 16 canicas en total, y queremos saber de cuántas maneras únicas podemos organizarlas. Al igual que antes, tomamos la #16!# maneras de colocar todas las canicas, luego dividir por las formas de permutar tanto las amarillas #(14!)# y los azules #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Cancel (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Así que hay 120 formas de dividir 14 puntos entre 3 preguntas. Esto también es igual a # "" _ 16C_14 #.

A estas alturas, puedes notar hacia dónde nos dirigimos. El número a la izquierda de la #DO# es igual al número de marcas que estamos dividiendo (mármoles amarillos) más El número de separadores (mármoles azules). El número de divisores es siempre uno menos que El número de preguntas. El número a la derecha de la #DO# Se mantiene el número de marcas.

Por lo tanto, para dividir las 14 marcas restantes entre las 8 preguntas (que requieren 7 divisores), calculamos

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (blanco) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (blanco) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Así que hay 116,280 formas de asignar 30 puntos a 8 preguntas, donde cada pregunta vale por lo menos 2 puntos.