¿Qué hecho divertido, útil, matemático sabes que normalmente no se enseña en la escuela?

Responder:

Cómo evaluar "torres de exponentes", tales como #2^(2^(2^2))#, y cómo trabajar el último dígito de # 2 ^ n, # # ninNN #.

Explicación:

Para evaluar estas "torres", comenzamos por la parte superior y avanzamos hacia abajo.

Asi que:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

En una nota similar, pero no relacionada, también sé cómo calcular los últimos dígitos de #2# Elevado a cualquier exponente natural. El último dígito de #2# Elevado a algo siempre se alterna entre cuatro valores: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Así que si quieres encontrar el último dígito de # 2 ^ n #, encuentre en qué lugar está el ciclo y sabrá cuál es su último dígito.

Responder:

Si #n> 0 # y #una# es una aproximación a #sqrt (n) #, entonces:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

dónde #b = n-a ^ 2 #

Explicación:

Supongamos que queremos encontrar la raíz cuadrada de algún número #n> 0 #.

Además, nos gustaría que el resultado fuera algún tipo de fracción continua que se repita en cada paso.

Tratar:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (blanco) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (blanco) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Sustraer #una# De ambos extremos para obtener:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiplica ambos lados por #sqrt (n) + a # Llegar:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Así que si # a ^ 2 # es un poco menos que #norte#, entonces #segundo# será pequeño y la fracción continua convergerá más rápido.

Por ejemplo, si tenemos # n = 28 # y elige # a = 5 #, entonces obtenemos:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Asi que:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

lo que nos da aproximaciones:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Una calculadora me dice #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Así que esto no está convergiendo particularmente rápido.

Alternativamente, podríamos poner # n = 28 # y # a = 127/24 # encontrar:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Asi que:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

dándonos aproximaciones:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Eso está convergiendo mucho más rápido.

Responder:

Puedes encontrar aproximaciones a raíces cuadradas usando una secuencia definida recursivamente.

Explicación:

#color blanco)()#

El método

Dado un entero positivo #norte# que no es un cuadrado perfecto:

• Dejar #p = piso (sqrt (n)) # ser el mayor entero positivo cuyo cuadrado no exceda #norte#.

• Dejar #q = n-p ^ 2 #

• Define una secuencia de enteros por:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "para" i> = 1):} #

Entonces la relación entre los términos sucesivos de la secuencia tenderá hacia # p + sqrt (n) #

#color blanco)()#

Ejemplo

Dejar # n = 7 #.

Entonces #p = piso (sqrt (7)) = 2 #, ya que #2^2=4 < 7# pero #3^2 = 9 > 7#.

Entonces # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Así comienza nuestra secuencia:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

En teoría, la relación entre términos consecutivos debería tender a # 2 + sqrt (7) #

Veamos:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Tenga en cuenta que # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#color blanco)()#

Cómo funciona

Supongamos que tenemos una secuencia definida por valores dados de # a_1, a_2 # y una regla:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

para algunas constantes #pag# y # q #.

Considera la ecuación:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Las raíces de esta ecuación son:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Entonces cualquier secuencia con término general # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # satisfará la regla de recurrencia que especificamos.

Siguiente resolver:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

para #UNA# y #SEGUNDO#.

Encontramos:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

y por lo tanto:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Así que con estos valores de # x_1, x_2, A, B # tenemos:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Si #q <3p ^ 2 # entonces #abs (x_2) <1 # y la relación entre términos sucesivos tenderá hacia # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Responder:

División modular

Explicación:

La división modular es igual a la división, excepto que la respuesta es el resto en lugar del valor real. En lugar de #-:# símbolo, usas el #%# símbolo.

Por ejemplo, por lo general, si tuviera que resolver. #16-:5# obtendrías #3# recordatorio #1# o #3.2#. Sin embargo, utilizando división modular, #16%5=1#.

Responder:

Evaluando cuadrados con sumas.

Explicación:

Normalmente, debes conocer cuadrados como #5^2=25#. Sin embargo, cuando los números se hacen más grandes, como #25^2#, se hace más difícil saber de la cabeza.

Me di cuenta de que después de un tiempo, los cuadrados son solo sumas de números impares.

Lo que quiero decir es esto:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # dónde # k # es el valor base menos #1#

Asi que #5^2# podría ser escrito como:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Eso te dará:

#1+3+5+7+9#

Esto, de hecho, es #25#.

Dado que los números siempre se incrementan en #2#, Luego podría agregar el primer y último número y luego multiplicar por # k / 2 #.

Entonces para #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Así que solo puedo hacer #(49+1)(25/2)# y obten #25^2# cual es #625#.

No es realmente práctico, pero es interesante saberlo.

#color blanco)()#

Prima

Sabiendo que:

# n ^ 2 = sobrebrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n términos" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

Nos permite resolver algunos problemas sobre diferencias de cuadrados.

Por ejemplo, ¿cuáles son todas las soluciones en enteros positivos? #m, n # de # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Esto se reduce a encontrar qué sumas de enteros impares consecutivos suman #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "promedio 20" #

#color (blanco) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (blanco) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (blanco) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "promedio de 10" #

#color (blanco) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (blanco) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (blanco) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #