Responder:
Es exactamente una de las raíces de #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # dónde #T_n (x) # es el #norte#El polinomio de Chebyshev del primer tipo. Esa es una de las cuarenta y seis raíces de:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 título de la v. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 9389986240+ xp; + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 725787625494949399pp que las partes de las personas se encuentren en contacto con nosotros! 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ ^ 20758645867763 pot de la clase de la fuente de la clase de la fuente de los derechos de los derechos de los clientes. 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Explicación:
# 58 ^ circ # no es un múltiplo de # 3 ^ circ #. Múltiplos de # 1 ^ circ # que no son múltiplos de # 3 ^ circ # no son construibles con una regla y compás, y sus funciones trigonométricas no son el resultado de una composición de números enteros que utilizan la suma, resta, multiplicación, división y enraizamiento de cuadrados.
Eso no significa que no podamos escribir alguna expresión para #cos 58 ^ circ #. Tomemos el signo de grado para significar un factor de # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
No es tan útil.
Podemos tratar de escribir una ecuación polinomial una de cuyas raíces es #cos 58 ^ circ # pero probablemente va a ser demasiado grande para caber.
# theta = 2 ^ circ # es #180#th de un círculo. Ya que #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # eso significa #cos 2 ^ circ # satisface
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Vamos a resolver esto para # theta # primero. #cos x = cos a # tiene raíces # x = pm a + 360 ^ circ k, # entero # k #.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
# theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k o theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Eso es un montón de raíces, y vemos # theta = 58 ^ circ # entre ellos.
Los polinomios #T_n (x) #, llamados los polinomios de Chebyshev del primer tipo, satisfacen #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Tienen coeficientes enteros. Conocemos los primeros de las fórmulas de doble y triple ángulo:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # asi que# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # asi que# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # asi que # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # asi que # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Hay una buena relación de recursión que podemos verificar:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Así que en teoría podemos generar estos para tan grandes #norte# como nos importa
Si dejamos # x = cos theta, # nuestra ecuación
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
se convierte en
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha está feliz de decirnos cuáles son. Escribiré la ecuación solo para probar la representación matemática:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 título de la v. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 9389986240+ xp; + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 725787625494949399pp que las partes de las personas se encuentren en contacto con nosotros! 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ ^ 20758645867763 pot de la clase de la fuente de la clase de la fuente de los derechos de los derechos de los clientes. 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Sí, esta respuesta se está haciendo larga, gracias Socratic. De todos modos, una de las raíces de ese polinomio de grado 46 con coeficientes enteros es # cos 58 ^ circ #.
